I) Le nombre d'or

Que peuvent bien avoir en commun des phénomènes naturels aussi différents que l'agencement des graines d'une fleur de tournesol, l'élégante spirale dessiné par la coquille de certains mollusques et les bras de la Voie lactée, la galaxie qui nous accueille ? Quelle règle géométrique d'une inégalable harmonie se cache dans l'oeuvre de grands artistes et architectes, de Vitruve à Le Corbusier en passant par De Vinci et Salvador Dali ? Aussi incroyable que cela puisse paraître, la réponse est un simple nombre. Un nombre d'une simple apparence, connu depuis l'antiquité, qui apparaît continûment dans toutes les représentations naturelles et artistiques, ce qui lui valut des appellations telles que "divine proportion ","nombre d'or" ou encore "proportion d'or". Reproduire ce nombre à l'écrit est littéralement impossible, non pas parce qu'il est excessivement grand ( il est à peine supérieur à 1 ) mais parce qu'il est composé d'un nombre infini de décimales, qui de surcroît ne suivent aucune règle. Le nombre d'or =  désigné par phi

II) le rectangle d'or

Imaginons un rectangle dont la mesure du grand coté vaut celle du petit multiplié par 1,618, c'est à dire un rectangle dont la proportion des deux cotés cités est le nombre d'or. nous devrions arriver à cela :

       

Un  rectangle comme celui ci est qualifié de rectangle d'or. Ce rectangle peut sembler tout à fait banal, cependant faisons une petite expérience avec deux cartes de crédit quelconques. si nous disposons la première à l'horizontale et la seconde à la verticale, et que nous les alignons selon leurs bases nous aurons ceci :

 En effet si nous traçons la diagonale de la première carte et la prolongeons sur la deuxième, aussi incroyable que cela paraisse, elle aboutit pile au sommet opposé de cette dernière.

Tout rectangle d'or peut se décomposer en un carré et un rectangle d'or qui lui aussi peut se décomposer en un carré et un rectangle d'or. On peut renouveler cette construction autant de fois qu'on le veut. Un rectangle d'or peut donc être décomposé en une infinité de carrés tous différents Dans ce tourbillon de carrés il est possible d'inscrire une spirale. 

Cette spirale est appelée spirale d'or.

III) La suite de fibonnacci:

La suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Le ratio de ces nombres plus l'on avance dans la suite tend vers le nombre d'or.

 

IV) le nombre d'or et la suite de fibonnacci dans le hasard

    le nombre d'or jusqu'à présent peut sembler un nombre comme les autres. Seulement voila, si l'on appelle ce nombre divine proportion ce n'est pas pour rien. Si ce nombre est si intéressant c'est parceque l'on a retrouvé ce nombre un peu partout.

1) Au moyen age :

    Déjà au Moyen-Age les mensurations humaines étaient utilisés comme patron. Les constructeurs français de cathédrales utilisaient un instrument de mesure formé de cinq tiges articulées dont les longueurs étaient la paume, le quart, l'empan, le pied et le coude. Ces mesures se fondaient sur la longueurs du bras et du pied humains. Toutes ces longueurs étaient des multiples d'une unité appelée "ligne", qui représentait un peu moins de 2,5 mm (exactement 2,247). Le tableau suivant montre l'équivalence entre ces unités de mesure anciennes, la ligne et nos unités contemporaines. On peut vérifier que les lignes sont des termes successifs de la suite de Fibonacci. D'ailleurs, la raison de chacune par rapport à la précédente est de Phi (le nombre d'or) ce qui est d'autant plus surprenant que les mesures anciennes étaient basées sur le corps humain.

paume

34 lignes

7,64 cm

 

palme

55 lignes

12,63 cm

55/34=1.61746

empan

89 lignes

20 cm

89/55=1.61818

pied

144 lignes

32,36 cm

144/89=1.617977

  coudée

  233 lignes

  52,36 cm

233/144=1.61806

 2) les pomme de pin :

   Le naturaliste allemand Karl Schimper (1803-1867) et le cristallographe français Auguste Bravis (1811-1863) remarquèrent que la botanique et les mathématiques étaient associés grâce à la découverte des nombres consécutifs de la suite de Fibonacci dans la pomme de pin. En 1968, le mathématicien nord-américain Alfred Brosseau réalisa une étude avec 4290 pommes de pin de dix espèces différentes de pins de Californie et vérifia que, à l'exception de 74 d'entre elles, toutes suivaient la suite de Fibonacci.Soit une coïncidence de 98,3%. Passé un certain temps, comme c'est toujours le cas, la communauté scientifique devint sceptique et reprit l'étude. En 1992, le botaniste canadien Roger V.Jean refit l'étude avec 12750 pommes de pin, provenant de 650 espèces différentes. La suite de Fibonacci était présente dans 92% des cas.

  

    La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens. 8 et 13 sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

 3) Le nautilus

On le trouve, par exemple, sur des ammonites datant de 100 millions d'années ou sur des coquillages, comme le Nautilus ; dont l'intérieur présente  une spirale formée d'une douzaine de petites loges séparées les unes des autres par des cloisons de nacre. Plus l'animal grandit, plus la taille des loges s'accroît mais la forme du coquillage conserve la structure d'une spirale :

 4) Dans l'architecture et la peinture:

    Le nombre d'or est appelé proportion divine car si dans certains ouvrages ses dimensions sont respectés alors on pourra dire que cette ouvrage est esthétique.De même on peut retrouver dans des tableaux très connus le nombre d'or, car les artistes dans une volonté d'esthétisme et d'harmonie ont put sans même le savoir utiliser des mesures proches de celles du nombre d'or. Il a été démontré que le Parthénon s'inscrivait dans un rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d'or.

    On peut aussi retrouver des traces du nombre d'or en observant la pyramide de kheops.La hauteur h vaut 148,2 m et le côté de la base carré vaut 232,8 m. En appliquant le théorème de Pythagore, on trouve : a² = b² + c² d'où a² = 148,2² + 116,4² et par conséquent a = 188,44. On obtient que a/c = 188,44/116,4 = phi

En peinture :

    On retrouve le nombre d'or dans de nombreuses peintures. Par exemple le visage si parfait de la joconde peut être divisé en plusieurs rectangles d'or.

La joconde:

 La naissance de Vénus:

    La naissance de Vénus est une œuvre peinte pas Sandro Botticelli (1482 environ). On y voit la déesse Temps recouvrir Vénus d'un manteau. Sur la gauche se trouvent les dieux du vent (dont Zéphyr), qui ont transporté la belle jusqu'au rivage.

    Ses dimensions, 172,5 × 278,5 cm représentent un rectangle d’or. En effet ces dimensions respectent précisément la proportion. Comme nous l’avons vue précédemment un rectangle d’or est un rectangle dont le quotient de la longueur sur la largeur est égal au nombre d’or

 

  Conclusion de partie :

    Comme le montrent tous les exemples présents au dessus, le nombre d'or est présent dans de nombreux ouvrages célébres. Cependant les personnes ayant crées ces ouvrages ne connaissaient pas encore ce nombre qu'est le nombre d'or. Il est alors intérressant de se dire que l'ésthetisme aux yeux des artistes et autres pouvait être expliqué mathématiquement.